Álgebra de Boole: Postulados e Teoremas Fundamentais.


A álgebra de Boole é a base para a simplificação e otimização de circuitos lógicos em sistemas digitais. Seus postulados – afirmações aceitas como verdadeiras sem demonstração – e teoremas permitem reduzir expressões lógicas complexas e minimizar o número de portas lógicas em um circuito. Nesta aula, abordaremos os conceitos fundamentais, os postulados (incluindo as identidades como A + 0 = A e A + A = A) e os teoremas de De Morgan.

1. Conceitos, Postulados e Propriedades Fundamentais

Na álgebra booleana, as variáveis só podem assumir dois valores: 0 ou 1. Isso estabelece as regras para as operações lógicas. Os postulados são declarações fundamentais que definem o comportamento dessas operações.

1.1 Terminologia dos Níveis Lógicos

Cada nível lógico pode ser representado por diferentes termos. Veja a tabela a seguir:

Lógico 0 Lógico 1
Falso Verdadeiro
Desligado Ligado
Baixo Alto
Não Sim
Aberto Fechado

1.2 Postulados da Álgebra de Boole

Os principais postulados definem as operações lógicas. Confira:

Complementação

O complemento (A') inverte o valor de A:

Adição (Operação OR)

As identidades da operação OR são:

Postulado Exemplo
0 + 0 = 0 A + 0 = A
0 + 1 = 1 A + 1 = 1
1 + 1 = 1 A + A = A

Essas identidades decorrem do fato de que A só pode ser 0 ou 1.

Multiplicação (Operação AND)

As identidades da operação AND são:

Postulado Exemplo
0 × 0 = 0 A × 0 = 0
0 × 1 = 0 A × 1 = A
1 × 1 = 1 A × A = A

2. Teoremas de De Morgan

Os teoremas de De Morgan facilitam a conversão entre operações OR e AND através da negação, auxiliando na simplificação de expressões lógicas.

2.1 Primeiro Teorema de De Morgan

Afirma que o complemento do produto é igual à soma dos complementos:
(A × B)' = A' + B'

Exemplo simplificado:

2.2 Segundo Teorema de De Morgan

Estabelece que o complemento da soma é igual ao produto dos complementos:
(A + B)' = A' × B'

Exemplo simplificado:

Esses teoremas são fundamentais para a simplificação de expressões lógicas e a implementação de circuitos digitais eficientes.


3. Conclusão

A álgebra de Boole, por meio de seus postulados e dos teoremas de De Morgan, permite a simplificação de circuitos lógicos. As identidades, como A + 0 = A e A + A = A, derivam do fato de que as variáveis booleanas só podem assumir os valores 0 ou 1. Os teoremas de De Morgan possibilitam a conversão entre operações OR e AND através da negação, facilitando a redução de expressões complexas.