A álgebra de Boole é a base para a simplificação e otimização de circuitos lógicos em sistemas digitais.
Seus postulados – afirmações aceitas como verdadeiras sem demonstração – e teoremas permitem reduzir expressões
lógicas complexas e minimizar o número de portas lógicas em um circuito.
Nesta aula, abordaremos os conceitos fundamentais, os postulados (incluindo as identidades como
A + 0 = A
e A + A = A
) e os teoremas de De Morgan.
Na álgebra booleana, as variáveis só podem assumir dois valores: 0 ou 1. Isso estabelece as regras para as operações lógicas. Os postulados são declarações fundamentais que definem o comportamento dessas operações.
Cada nível lógico pode ser representado por diferentes termos. Veja a tabela a seguir:
Lógico 0 | Lógico 1 |
---|---|
Falso | Verdadeiro |
Desligado | Ligado |
Baixo | Alto |
Não | Sim |
Aberto | Fechado |
Os principais postulados definem as operações lógicas. Confira:
O complemento (A') inverte o valor de A:
As identidades da operação OR são:
Postulado | Exemplo |
---|---|
0 + 0 = 0 | A + 0 = A |
0 + 1 = 1 | A + 1 = 1 |
1 + 1 = 1 | A + A = A |
Essas identidades decorrem do fato de que A só pode ser 0 ou 1.
As identidades da operação AND são:
Postulado | Exemplo |
---|---|
0 × 0 = 0 | A × 0 = 0 |
0 × 1 = 0 | A × 1 = A |
1 × 1 = 1 | A × A = A |
Os teoremas de De Morgan facilitam a conversão entre operações OR e AND através da negação, auxiliando na simplificação de expressões lógicas.
Afirma que o complemento do produto é igual à soma dos complementos:
(A × B)' = A' + B'
Exemplo simplificado:
Estabelece que o complemento da soma é igual ao produto dos complementos:
(A + B)' = A' × B'
Exemplo simplificado:
Esses teoremas são fundamentais para a simplificação de expressões lógicas e a implementação de circuitos digitais eficientes.
A álgebra de Boole, por meio de seus postulados e dos teoremas de De Morgan, permite a simplificação de circuitos lógicos. As identidades, como A + 0 = A e A + A = A, derivam do fato de que as variáveis booleanas só podem assumir os valores 0 ou 1. Os teoremas de De Morgan possibilitam a conversão entre operações OR e AND através da negação, facilitando a redução de expressões complexas.