Álgebra de Boole: Postulados e Teoremas Fundamentais.

A álgebra de Boole é a base para a simplificação e otimização de circuitos lógicos em sistemas digitais. Seus postulados – afirmações aceitas como verdadeiras sem demonstração – e teoremas permitem reduzir expressões lógicas complexas e minimizar o número de portas lógicas em um circuito. Nesta aula, abordaremos os conceitos fundamentais, os postulados (incluindo as identidades como A + 0 = A e A + A = A) e os teoremas de De Morgan.

1. Conceitos, Postulados e Propriedades Fundamentais

Na álgebra booleana, as variáveis só podem assumir dois valores: 0 ou 1. Isso estabelece as regras para as operações lógicas. Os postulados são declarações fundamentais que definem o comportamento dessas operações.

1.1 Terminologia dos Níveis Lógicos

Cada nível lógico pode ser representado por diferentes termos. Veja a tabela a seguir:

Lógico 0	Lógico 1
Falso	Verdadeiro
Desligado	Ligado
Baixo	Alto
Não	Sim
Aberto	Fechado

1.2 Postulados da Álgebra de Boole

Os principais postulados definem as operações lógicas. Confira:

Complementação

O complemento (A') inverte o valor de A:

Se A = 0, então A' = 1.
Se A = 1, então A' = 0.

Adição (Operação OR)

As identidades da operação OR são:

A + 0 = A: O 0 é neutro para OR. Exemplo: se A = 0, 0 + 0 = 0; se A = 1, 1 + 0 = 1.
A + 1 = 1: O 1 domina a operação OR. Qualquer variável OR 1 resulta em 1.
A + A = A: A propriedade idempotente indica que somar A a si mesmo não altera seu valor.

Postulado	Exemplo
0 + 0 = 0	A + 0 = A
0 + 1 = 1	A + 1 = 1
1 + 1 = 1	A + A = A

Essas identidades decorrem do fato de que A só pode ser 0 ou 1.

Multiplicação (Operação AND)

As identidades da operação AND são:

A × 0 = 0: Qualquer variável AND 0 resulta em 0.
A × 1 = A: O 1 é neutro para AND.
A × A = A: A propriedade idempotente indica que A multiplicada por ela mesma não altera seu valor.

Postulado	Exemplo
0 × 0 = 0	A × 0 = 0
0 × 1 = 0	A × 1 = A
1 × 1 = 1	A × A = A

2. Teoremas de De Morgan

Os teoremas de De Morgan facilitam a conversão entre operações OR e AND através da negação, auxiliando na simplificação de expressões lógicas.

2.1 Primeiro Teorema de De Morgan

Afirma que o complemento do produto é igual à soma dos complementos:
(A × B)' = A' + B'

Exemplo simplificado:

Se A = 0 e B = 1, então A × B = 0; seu complemento é 1, e como A' = 1 e B' = 0, temos 1 + 0 = 1.
Se A = 1 e B = 1, então A × B = 1; seu complemento é 0, e como A' = 0 e B' = 0, temos 0 + 0 = 0.

2.2 Segundo Teorema de De Morgan

Estabelece que o complemento da soma é igual ao produto dos complementos:
(A + B)' = A' × B'

Exemplo simplificado:

Se A = 0 e B = 0, então A + B = 0; seu complemento é 1, e como A' = 1 e B' = 1, temos 1 × 1 = 1.
Se A = 1 e B = 0, então A + B = 1; seu complemento é 0, e como A' = 0 e B' = 1, temos 0 × 1 = 0.

Esses teoremas são fundamentais para a simplificação de expressões lógicas e a implementação de circuitos digitais eficientes.

3. Conclusão

A álgebra de Boole, por meio de seus postulados e dos teoremas de De Morgan, permite a simplificação de circuitos lógicos. As identidades, como A + 0 = A e A + A = A, derivam do fato de que as variáveis booleanas só podem assumir os valores 0 ou 1. Os teoremas de De Morgan possibilitam a conversão entre operações OR e AND através da negação, facilitando a redução de expressões complexas.