Este capítulo aborda as principais operações aritméticas utilizadas em sistemas digitais e os métodos para conversão entre diferentes bases numéricas – decimal, binária e hexadecimal. São apresentados exemplos práticos, tabelas e diagramas que ilustram os conceitos fundamentais para a compreensão dos processos internos dos dispositivos digitais.
Os computadores são denominados “digitais” porque operam com o sistema binário, o qual utiliza apenas dois níveis (0 e 1). Isso ocorre porque é mais simples e econômico construir dispositivos eletrônicos que distinguem entre dois níveis de tensão do que dispositivos com múltiplos níveis (0 a 9, por exemplo).
O capítulo explora não apenas as operações aritméticas em bases 2 e 16, mas também as conversões entre sistemas numéricos, permitindo ao aluno compreender como os dispositivos digitais realizam operações lógicas e aritméticas.
Em um sistema digital, os dois estados lógicos são representados por diferentes níveis de tensão. Por exemplo, pode-se ter:
Ao utilizar N bits, o sistema pode representar 2N possibilidades, que correspondem aos
números de 0 até 2N - 1 em decimal. Por exemplo, com 4 bits, os números vão de
00002 (010) até 11112 (1510).
A operação de soma é realizada de forma similar em todos os sistemas numéricos, mas cada base possui suas particularidades:
Nos algarismos decimais (0 a 9), “somar” pode ser entendido como deslocar à direita na sequência. Por exemplo, 4 + 3 = 7. Entretanto, quando o resultado excede 9, ocorre o chamado estouro e é realizado o vai 1 (ou transporte), por exemplo:
Exemplo: 7 + 7 → resulta em 4 com transporte (7 + 7 = 14).
Ou seja, 4 com transporte
você faz o "vai 1", colocando o 4 seguido do 1 na casa à frente. (x4 → 14)
No sistema binário (base 2), os únicos algarismos são 0 e 1. As regras básicas da soma são:
| Operação | Resultado | Observação |
|---|---|---|
| 0 + 0 | 0 | - |
| 0 + 1 | 1 | - |
| 1 + 0 | 1 | - |
| 1 + 1 | 0 (com transporte 1) | Vai 1 |
Exemplo: Somar 13710 e 7210 convertendo para binário:
Aqui um exemplo de como faz, da para alinhar os números verticalmente para facilitar.
1 + 0 = 1 0 + 0 = 0 0 + 0 = 0 1 + 1 = 0 (resultado > 1: = 0 e próximo ganha +1) 0 + 0 (+ 1) = 1 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 Agora monte de baixo para cima. Resultado: 110100012
O sistema hexadecimal (base 16) utiliza os dígitos 0-9 e as letras A-F (onde A = 10, B = 11, ..., F = 15). A técnica de soma é similar à decimal, levando em conta os deslocamentos e o “vai 1”.
Exemplo 1: Somar 8 com A em hexadecimal:
Exemplo 2: Somar 53116 com 19C16:
Resultado: 6CD16.
A subtração binária é similar à decimal, mas com apenas quatro casos:
| Operação | Resultado | Observação |
|---|---|---|
| 0 - 0 | 0 | - |
| 1 - 1 | 0 | - |
| 1 - 0 | 1 | - |
| 0 - 1 | 1 (com transporte -1) | Vai 1 |
Exemplo: Subtrair 10002 de 100112:
Como o 10002 não tem 5 dígitos, nós adicionamos um 0 na esquerda, ficando:
010002
Montamos eles da direita para a esquerda:
1 - 0 = 1 1 - 0 = 1 0 - 0 = 0 0 - 1 = 1 (resultado < 1: = 1 e próximo ganha -1) 1 - 0 (- 1) = 0 Agora monte de baixo para cima. (Remova os zeros adicionados) Resultado: 10112
100112 - 10002 = 10112Aviso!, eu criei uma página apenas para ensinar as conversões da forma mais fácil que encontrei, clique aqui para aprender: link
Existem dois métodos comuns para converter um número decimal para binário:
Exemplo (Divisão Sucessiva): Converter 3010 para binário:
30 ÷ 2 = 15 | Resto: 0 (LSB) 15 ÷ 2 = 7 | Resto: 1 7 ÷ 2 = 3 | Resto: 1 3 ÷ 2 = 1 | Resto: 1 1 ÷ 2 = 0 | Resto: 1 (MSB) Lendo os restos de baixo para cima: 111102
Para converter um número binário para hexadecimal, o método mais simples é agrupar os bits em grupos de 4, iniciando da direita para a esquerda. Se o número de bits não for múltiplo de 4, adicione zeros à esquerda para completar o grupo.
Exemplo: Converter o número binário 10110112 para hexadecimal.
Passo 1: Adicione um zero à esquerda para obter 8 bits (se necessário):
10110112 → 010110112.
Passo 2: Divida o número em grupos de 4 bits:
01012
10112
Utilize essa "colinha" para converter:
8421 (Decimal)
1111 (Binário)
Você alinha os 1's e 0's, por exemplo: 0011 = 2 + 1 | 1011 = 8 + 2 + 1.
Passo 3: Converta cada grupo para hexadecimal:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}
01012 = 510 = 51610112 = 1110 = B16Portanto, 10110112 = 5B16.
Para converter um número binário para decimal, multiplique cada bit pela potência de 2 correspondente à sua posição (contando da direita para a esquerda, onde o LSB tem peso 20).
Exemplo: Converter 100112 para decimal:
A conversão de decimal para hexadecimal utiliza divisões sucessivas por 16, com os restos formando o número hexadecimal (lidos de trás para frente).
Exemplo 1: Converter 37310:
373 ÷ 16 = 23 | Resto: 5 (LSB) 23 ÷ 16 = 1 | Resto: 7 1 ÷ 16 = 0 | Resto: 1 (MSB) Resultado: 17516
Exemplo 2: Converter 23110:
231 ÷ 16 = 14 | Resto: 7 (LSB) 14 ÷ 16 = 0 | Resto: 14 (MSB; 14 corresponde a E) Resultado: E716
Para converter um número hexadecimal para decimal, multiplique cada dígito pelo valor de 16 elevado à potência da sua posição (contando da direita para a esquerda, iniciando com 160).
Exemplo 1: Converter 35616:
Exemplo 2: Converter 2AF16:
Cada dígito hexadecimal equivale a 4 dígitos binários (já que 24 = 16). Assim, a conversão é feita convertendo cada dígito individualmente e, em seguida, concatenando os resultados.
Exemplo: Converter 5B16 para binário:
Outro exemplo mencionado é a conversão do hexadecimal 3AB16 para binário, que resulta em
11101010112 após a conversão e concatenação de cada dígito.
Nos sistemas numéricos, principalmente na representação binária:
Estes conceitos são fundamentais para compreender os métodos de conversão, pois o posicionamento dos dígitos determina o valor total do número.
O capítulo demonstrou como realizar operações aritméticas – como soma e subtração – em diferentes bases (binário e hexadecimal), bem como os métodos para converter números entre os sistemas decimal, binário e hexadecimal. O entendimento desses processos é essencial para a compreensão do funcionamento interno dos sistemas digitais, e para a aplicação prática em circuitos, microprocessadores e softwares.
Ainda que muitas dessas operações e conversões possam ser automatizadas por calculadoras online, o domínio manual desses conceitos permite ao aluno compreender as operações lógicas e a estrutura dos dispositivos digitais.