Operações Numéricas e Conversões de Base.


Este capítulo aborda as principais operações aritméticas utilizadas em sistemas digitais e os métodos para conversão entre diferentes bases numéricas – decimal, binária e hexadecimal. São apresentados exemplos práticos, tabelas e diagramas que ilustram os conceitos fundamentais para a compreensão dos processos internos dos dispositivos digitais.

1. Introdução

Os computadores são denominados “digitais” porque operam com o sistema binário, o qual utiliza apenas dois níveis (0 e 1). Isso ocorre porque é mais simples e econômico construir dispositivos eletrônicos que distinguem entre dois níveis de tensão do que dispositivos com múltiplos níveis (0 a 9, por exemplo).

O capítulo explora não apenas as operações aritméticas em bases 2 e 16, mas também as conversões entre sistemas numéricos, permitindo ao aluno compreender como os dispositivos digitais realizam operações lógicas e aritméticas.


2. Representação dos Sinais Digitais

Em um sistema digital, os dois estados lógicos são representados por diferentes níveis de tensão. Por exemplo, pode-se ter:

Ao utilizar N bits, o sistema pode representar 2N possibilidades, que correspondem aos números de 0 até 2N - 1 em decimal. Por exemplo, com 4 bits, os números vão de 00002 (010) até 11112 (1510).


3. Operações Numéricas

3.1. Operação de Soma

A operação de soma é realizada de forma similar em todos os sistemas numéricos, mas cada base possui suas particularidades:

Soma no Sistema Decimal

Nos algarismos decimais (0 a 9), “somar” pode ser entendido como deslocar à direita na sequência. Por exemplo, 4 + 3 = 7. Entretanto, quando o resultado excede 9, ocorre o chamado estouro e é realizado o vai 1 (ou transporte), por exemplo:

Exemplo: 7 + 7 → resulta em 4 com transporte (7 + 7 = 14).
Ou seja, 4 com transporte você faz o "vai 1", colocando o 4 seguido do 1 na casa à frente. (x4 → 14)

Soma no Sistema Binário

No sistema binário (base 2), os únicos algarismos são 0 e 1. As regras básicas da soma são:

Operação Resultado Observação
0 + 0 0 -
0 + 1 1 -
1 + 0 1 -
1 + 1 0 (com transporte 1) Vai 1

Exemplo: Somar 13710 e 7210 convertendo para binário:

Aqui um exemplo de como faz, da para alinhar os números verticalmente para facilitar.

1 + 0       = 1
0 + 0       = 0
0 + 0       = 0
1 + 1       = 0 (resultado > 1: = 0 e próximo ganha +1)
0 + 0 (+ 1) = 1
0 + 0       = 0
0 + 1       = 1
1 + 0       = 1

Agora monte de baixo para cima.
Resultado: 110100012

Soma no Sistema Hexadecimal

O sistema hexadecimal (base 16) utiliza os dígitos 0-9 e as letras A-F (onde A = 10, B = 11, ..., F = 15). A técnica de soma é similar à decimal, levando em conta os deslocamentos e o “vai 1”.

Exemplo 1: Somar 8 com A em hexadecimal:

Exemplo 2: Somar 53116 com 19C16:

Resultado: 6CD16.

3.2. Subtração Binária

A subtração binária é similar à decimal, mas com apenas quatro casos:

Operação Resultado Observação
0 - 0 0 -
1 - 1 0 -
1 - 0 1 -
0 - 1 1 (com transporte -1) Vai 1

Exemplo: Subtrair 10002 de 100112:

Como o 10002 não tem 5 dígitos, nós adicionamos um 0 na esquerda, ficando: 010002

Montamos eles da direita para a esquerda:

1 - 0       = 1
1 - 0       = 1
0 - 0       = 0
0 - 1       = 1 (resultado < 1: = 1 e próximo ganha -1)
1 - 0 (- 1) = 0

Agora monte de baixo para cima.
(Remova os zeros adicionados)
Resultado: 10112

4. Conversões de Base

Aviso!, eu criei uma página apenas para ensinar as conversões da forma mais fácil que encontrei, clique aqui para aprender:

4.1. Conversão de Decimal para Binário

Existem dois métodos comuns para converter um número decimal para binário:

  1. Método dos Pesos: Determine quais potências de 2 somadas formam o número decimal.
  2. Método das Divisões Sucessivas: Divida o número por 2 repetidamente e anote os restos (o primeiro resto é o LSB e o último, o MSB).

Exemplo (Divisão Sucessiva): Converter 3010 para binário:

30 ÷ 2 = 15   | Resto: 0 (LSB)
15 ÷ 2 = 7    | Resto: 1
 7 ÷ 2 = 3    | Resto: 1
 3 ÷ 2 = 1    | Resto: 1
 1 ÷ 2 = 0    | Resto: 1 (MSB)

Lendo os restos de baixo para cima: 111102

4.2. Conversão de Binário para Hexadecimal

Para converter um número binário para hexadecimal, o método mais simples é agrupar os bits em grupos de 4, iniciando da direita para a esquerda. Se o número de bits não for múltiplo de 4, adicione zeros à esquerda para completar o grupo.

Exemplo: Converter o número binário 10110112 para hexadecimal.

Passo 1: Adicione um zero à esquerda para obter 8 bits (se necessário): 10110112 → 010110112.

Passo 2: Divida o número em grupos de 4 bits:

01012
10112

Utilize essa "colinha" para converter:

8421 (Decimal)
1111 (Binário)

Você alinha os 1's e 0's, por exemplo: 0011 = 2 + 1 | 1011 = 8 + 2 + 1.

Passo 3: Converta cada grupo para hexadecimal:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

Portanto, 10110112 = 5B16.

4.3. Conversão de Binário para Decimal

Para converter um número binário para decimal, multiplique cada bit pela potência de 2 correspondente à sua posição (contando da direita para a esquerda, onde o LSB tem peso 20).

Exemplo: Converter 100112 para decimal:

4.4. Conversão de Decimal para Hexadecimal

A conversão de decimal para hexadecimal utiliza divisões sucessivas por 16, com os restos formando o número hexadecimal (lidos de trás para frente).

Exemplo 1: Converter 37310:

373 ÷ 16 = 23 | Resto: 5 (LSB)
 23 ÷ 16 = 1  | Resto: 7
  1 ÷ 16 = 0  | Resto: 1 (MSB)

Resultado: 17516

Exemplo 2: Converter 23110:

231 ÷ 16 = 14 | Resto: 7  (LSB)
 14 ÷ 16 = 0  | Resto: 14 (MSB; 14 corresponde a E)

Resultado: E716

4.5. Conversão de Hexadecimal para Decimal

Para converter um número hexadecimal para decimal, multiplique cada dígito pelo valor de 16 elevado à potência da sua posição (contando da direita para a esquerda, iniciando com 160).

Exemplo 1: Converter 35616:

Exemplo 2: Converter 2AF16:

4.6. Conversão de Hexadecimal para Binário

Cada dígito hexadecimal equivale a 4 dígitos binários (já que 24 = 16). Assim, a conversão é feita convertendo cada dígito individualmente e, em seguida, concatenando os resultados.

Exemplo: Converter 5B16 para binário:

Outro exemplo mencionado é a conversão do hexadecimal 3AB16 para binário, que resulta em 11101010112 após a conversão e concatenação de cada dígito.


5. Conceitos Importantes: MSB e LSB

Nos sistemas numéricos, principalmente na representação binária:

Estes conceitos são fundamentais para compreender os métodos de conversão, pois o posicionamento dos dígitos determina o valor total do número.


6. Considerações Finais

O capítulo demonstrou como realizar operações aritméticas – como soma e subtração – em diferentes bases (binário e hexadecimal), bem como os métodos para converter números entre os sistemas decimal, binário e hexadecimal. O entendimento desses processos é essencial para a compreensão do funcionamento interno dos sistemas digitais, e para a aplicação prática em circuitos, microprocessadores e softwares.

Ainda que muitas dessas operações e conversões possam ser automatizadas por calculadoras online, o domínio manual desses conceitos permite ao aluno compreender as operações lógicas e a estrutura dos dispositivos digitais.